Καλώς ήρθες στο “Μαθηματικό Εργαστήριο”!
Εδώ μπορείς να πειραματιστείς με μαθηματικούς υπολογισμούς, εύκολα και ξεκούραστα. Ενδεικτικά μπορείς να:
- υπολογίσεις ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός
- υπολογίσεις στατιστικά στοιχεία
- δημιουργήσεις γεωμετρικά σχήματα
Αν κάτι που έψαχνες λείπει, επικοινώνησε μαζί μου και θα το προσθέσω. Εξάλλου, τα μαθηματικά δεν έχουν όρια!
Το παράδοξο των γενεθλίων
Το παράδοξο των γενεθλίων, αποτελεί ένα από τα δημοφιλέστερα μαθηματικά παράδοξα στον κόσμο! Εν συντομία, αυτό που εξετάζει, είναι: “Ποια η πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα στον ίδιο χώρο, που να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια”.
Δες τα αποτελέσματα από κάτω και θα εκπλαγείς!
Παράδοξο των γενεθλίων
Σε μια ομάδα 23 ατόμων, υπάρχει 50.7297% πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον 2 άτομα την ίδια μέρα γενέθλια.
Μαθηματική φόρμουλα
P(τουλάχιστον 2 ίδια μέρα) = 1 − P(όλοι διαφορετική ημέρα)
P(όλοι διαφορετική ημέρα) = (N/N) × ((N-1)/N) × ... × ((N−n+1)/N)
όπου N = αριθμός ημερών (365 ή 366)
Το πρόβλημα του Monty Hall
Στο πρόβλημα του Monty Hall, αντιμετωπίζουμε την παρακάτω κατάσταση:
Βρισκόμαστε σε ένα τηλεπαιχνίδι και μπροστά μας έχουμε 3 κουρτίνες. Πίσω από τη μία βρίσκεται ένα αυτοκίνητο, ενώ πίσω από τις άλλες 2 βρίσκονται κατσίκες. Επιλέγουμε μία κουρτίνα και τότε ο παρουσιαστής, μας ανοίγει μία από τις άλλες δύο. Μέσα σε αυτή βρίσκεται μία κατσίκα. Τότε, έχοντας μπροστά μας μόνο δύο κουρτίνες, μας ρωτάει αν θέλουμε να αλλάξουμε την αρχική μας επιλογή.
Κάπου εδώ σίγουρα σκέφτεσαι ότι οι πιθανότητές μας είναι 50-50 σωστά; Επίλεξε παρακάτω τη δική σου κουρτίνα και δες τις πραγματικές πιθανότητες!
🐐 Το πρόβλημα του Monty Hall 🚗
Πρώτοι αριθμοί
Καλώς ήρθες στον κόσμο των πρώτων αριθμών. Εδώ θα ανακαλύψεις όσες πληροφορίες χρειάζεσαι. Τι περιμένεις; Φύγαμε!
στον κόσμο
των πρώτων αριθμών!
Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του 1 και έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες: τη μονάδα (1) και τον εαυτό του.
Παραδείγματα:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Σημαντικές Παρατηρήσεις:
• Ο 1 ΔΕΝ είναι πρώτος
• Ο 2 είναι ο μόνος άρτιος πρώτος
• Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί
Αριθμός:
2^136.279.841 − 1
Πόσα Ψηφία:
41.024.320 ψηφία
Ανακαλύφθηκε:
12 Οκτωβρίου 2024
Ποιος τον ανακάλυψε;
Luke Durant, ερευνητής από
San Jose, California
Τύπος:
Mersenne Prime (52ος)
Ενδιαφέρον Γεγονός:
Πέρασαν 6 χρόνια από την
προηγούμενη ανακάλυψη
πρώτου αριθμού.
Boy or girl paradox (Το παράδοξο του "αγόρι ή κορίτσι")
Το παράδοξο του “αγόρι ή κορίτσι” (boy or girl paradox), είναι επίσης ένα από τα γνωστότερα παράδοξα της θεωρίας πιθανοτήτων. Το παράδοξο πραγματεύεται μια σειρά από ερωτήματα σχετικά με μία οικογένεια που έχει δύο παιδιά.
Οι διατυπώσεις που δίνονται, αλλάζουν κάθε φορά το αποτέλεσμα! Δες τι εννοώ παρακάτω!
Το παράδοξο «αγόρι ή κορίτσι»
Παρακάτω θα δούμε τρία διαφορετικά προβλήματα πιθανοτήτων. Μοιάζουν τόσο πολύ μεταξύ τους, που οι περισσότεροι τα θεωρούν ένα και το αυτό. Δεν είναι. Κάθε ένα δίνει τη δική του απάντηση, και η διαφορά κρύβεται στον τρόπο που διατυπώνεται η πληροφορία.
Διάλεξε εκδοχή για να δεις τη θεωρία και την προσομοίωση:
Σε όλες τις εκδοχές υποθέτουμε ότι κάθε παιδί είναι αγόρι ή κορίτσι με πιθανότητα 1/2, ανεξάρτητα από το άλλο, και ότι κάθε ημέρα γέννησης είναι εξίσου πιθανή.
Εκδοχή 1 – Τουλάχιστον ένα αγόρι
Η ερώτηση
Οι περισσότεροι απαντούν αυθόρμητα 1/2, σκεπτόμενοι ότι «το άλλο παιδί είναι αγόρι ή κορίτσι». Η διαίσθηση όμως αγνοεί ότι δεν έχει προσδιοριστεί ποιο από τα δύο παιδιά είναι το αγόρι.
Ο δειγματικός χώρος
Γράφουμε τα παιδιά με σειρά γέννησης, από το μεγαλύτερο στο μικρότερο. Υπάρχουν τέσσερις ισοπίθανες περιπτώσεις:
Η πληροφορία αποκλείει μόνο την περίπτωση «κορίτσι – κορίτσι». Μένουν τρεις ισοπίθανες περιπτώσεις και μόνο η μία έχει δύο αγόρια.
Προσομοίωση
Παράγουμε τυχαίες οικογένειες δύο παιδιών, κρατάμε μόνο όσες ταιριάζουν με την πληροφορία και μετράμε πόσες από αυτές έχουν δύο αγόρια.
Εκδοχή 2 – Το μεγαλύτερο παιδί είναι αγόρι
Η ερώτηση
Η πληροφορία μοιάζει με αυτήν της πρώτης εκδοχής: και εδώ μαθαίνουμε ότι υπάρχει ένα αγόρι. Η κρίσιμη διαφορά είναι ότι τώρα ξέρουμε ποιο παιδί είναι.
Ο δειγματικός χώρος
Ξεκινάμε πάλι από τις ίδιες τέσσερις ισοπίθανες περιπτώσεις:
Τώρα αποκλείονται δύο περιπτώσεις, όσες έχουν κορίτσι στη θέση του μεγαλύτερου παιδιού. Μένουν δύο ισοπίθανες περιπτώσεις και η μία έχει δύο αγόρια.
Προσομοίωση
Ίδια διαδικασία, αλλά τώρα κρατάμε μόνο τις οικογένειες όπου το μεγαλύτερο παιδί είναι αγόρι.
Εκδοχή 3 – Ένα αγόρι γεννημένο Τρίτη
Η ερώτηση
Η ημέρα γέννησης μοιάζει άσχετη με το φύλο, οπότε θα περιμέναμε να μείνει η απάντηση 1/3. Στην πραγματικότητα η λεπτομέρεια αυτή περιορίζει τον δειγματικό χώρο με τρόπο που ευνοεί ελαφρώς τις οικογένειες με δύο αγόρια.
Ο δειγματικός χώρος
Κάθε παιδί περιγράφεται τώρα από φύλο και ημέρα γέννησης: 2 × 7 = 14 δυνατότητες. Για δύο παιδιά με σειρά γέννησης προκύπτουν 14 × 14 = 196 ισοπίθανες περιπτώσεις, μία σε κάθε τετραγωνάκι. Οι γραμμές δείχνουν το μεγαλύτερο παιδί και οι στήλες το μικρότερο:
Στις επικεφαλίδες, οι πορτοκαλί ημέρες αντιστοιχούν σε αγόρι και οι τιρκουάζ σε κορίτσι. Οι συντομογραφίες είναι Δε, Τρ, Τε, Πε, Πα, Σά, Κυ για τις ημέρες της εβδομάδας.
Μετρώντας: 14 περιπτώσεις έχουν το μεγαλύτερο παιδί αγόρι γεννημένο Τρίτη και άλλες 14 το μικρότερο. Η μία περίπτωση όπου ισχύουν και τα δύο μετριέται δύο φορές, οπότε 14 + 14 − 1 = 27 περιπτώσεις ταιριάζουν συνολικά. Με τον ίδιο συλλογισμό, όσες έχουν δύο αγόρια είναι 7 + 7 − 1 = 13.
Γιατί συμβαίνει αυτό
Όσο πιο σπάνιο είναι το χαρακτηριστικό που αναφέρουμε, τόσο πιο πολύ «δείχνει» ένα συγκεκριμένο παιδί, και τόσο πιο κοντά στο 1/2 πάει η απάντηση. Αν το χαρακτηριστικό εμφανίζεται σε ένα αγόρι με πιθανότητα p, τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι (2 − p) / (4 − p).
Για p = 1 (καμία επιπλέον λεπτομέρεια, απλώς «αγόρι») ο τύπος δίνει 1/3. Για p = 1/7 (συγκεκριμένη ημέρα της εβδομάδας) δίνει 13/27. Όσο το p μικραίνει, η τιμή πλησιάζει το 1/2 χωρίς ποτέ να το φτάνει.
Προσομοίωση
Κάθε παιδί παίρνει τυχαίο φύλο και τυχαία ημέρα γέννησης. Κρατάμε μόνο τις οικογένειες που έχουν τουλάχιστον ένα αγόρι γεννημένο Τρίτη.
Η προσομοίωση χρειάζεται περισσότερες δοκιμές εδώ, γιατί μόνο περίπου 27 στις 196 οικογένειες ταιριάζουν με την πληροφορία.